jueves, 27 de marzo de 2008

SUMATORIA

El símbolo de sumatoria

Supóngase dada una cantidad finita de números, digamos
MPSetEqnAttrs('eq0001','',3,[[68,9,3,-1,-1],[91,11,4,-1,-1],[114,14,5,-1,-1],[],[],[],[285,36,13,-3,-3]])
y consideramos su suma
MPDeleteCode('eq0001')
MPSetEqnAttrs('eq0002','',3,[[90,10,3,-1,-1],[121,13,4,-1,-1],[151,16,5,-1,-1],[],[],[],[376,39,13,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0002')
En ocasiones es conveniente más hacer breve esta expresión, y esto se logra mediante el símbolo de suma
MPSetEqnAttrs('eq0003','',3,[[12,14,5,-1,-1],[16,18,5,-1,-1],[20,24,9,-1,-1],[],[],[],[50,60,18,-3,-3]])
, llamado sumatoria, cuya utilización pasamos a describir.
MPDeleteCode('eq0003')
Pondremos
MPSetEqnAttrs('eq0004','',3,[[127,26,11,-1,-1],[171,37,16,-1,-1],[212,46,19,-1,-1],[],[],[],[532,111,47,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0004')
En el especial caso en que sea
MPSetEqnAttrs('eq0005','',3,[[21,9,0,-1,-1],[29,11,0,-1,-1],[37,13,0,-1,-1],[],[],[],[89,33,1,-3,-3]])
,
MPSetEqnAttrs('eq0006','',3,[[44,28,11,-1,-1],[61,39,16,-1,-1],[75,49,19,-1,-1],[],[],[],[187,117,47,-3,-3]])
.
MPDeleteCode('eq0006')
MPDeleteCode('eq0005')
El elemento
MPSetEqnAttrs('eq0007','',3,[[9,9,3,-1,-1],[13,11,4,-1,-1],[16,14,5,-1,-1],[],[],[],[39,36,13,-3,-3]])
se llama término general de la suma y, en muchos casos prácticos, es preciso conocer el aspecto de este término general.
MPDeleteCode('eq0007')
El número
MPSetEqnAttrs('eq0008','',3,[[6,9,0,-1,-1],[8,11,0,-1,-1],[10,14,0,-1,-1],[],[],[],[24,35,1,-3,-3]])
que figura debajo del símbolo
MPSetEqnAttrs('eq0009','',3,[[12,14,5,-1,-1],[16,18,5,-1,-1],[20,24,9,-1,-1],[],[],[],[50,60,18,-3,-3]])
se llama índice de sumación , y entendemos que los valores que toma este índice son
MPSetEqnAttrs('eq0010','',3,[[46,11,2,-1,-1],[61,13,2,-1,-1],[77,16,3,-1,-1],[],[],[],[194,42,9,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0010')
MPDeleteCode('eq0009')
MPDeleteCode('eq0008')
Más generalmente, si
MPSetEqnAttrs('eq0011','',3,[[6,9,3,-1,-1],[9,10,3,-1,-1],[12,13,4,-1,-1],[],[],[],[30,34,11,-3,-3]])
y
MPSetEqnAttrs('eq0012','',3,[[5,9,3,-1,-1],[7,10,3,-1,-1],[10,13,4,-1,-1],[],[],[],[24,34,11,-3,-3]])
son dos números enteros, con
MPSetEqnAttrs('eq0013','',3,[[24,12,3,-1,-1],[33,13,3,-1,-1],[43,16,4,-1,-1],[],[],[],[107,40,11,-3,-3]])
, pondremos
MPDeleteCode('eq0013')
MPDeleteCode('eq0012')
MPDeleteCode('eq0011')

MPSetEqnAttrs('eq0014','',3,[[119,29,13,-1,-1],[159,39,17,-1,-1],[199,47,21,-1,-1],[],[],[],[498,120,54,-3,-3]])

MPDeleteCode('eq0014')
En este contexto, el número
MPSetEqnAttrs('eq0015','',3,[[6,9,3,-1,-1],[9,10,3,-1,-1],[12,13,4,-1,-1],[],[],[],[30,34,11,-3,-3]])
se llama límite inferior de la suma , en tanto
MPSetEqnAttrs('eq0016','',3,[[5,9,3,-1,-1],[7,10,3,-1,-1],[10,13,4,-1,-1],[],[],[],[24,34,11,-3,-3]])
es el límite superior de esa suma.
MPDeleteCode('eq0016')
MPDeleteCode('eq0015')

Ejemplos.

a) Se quiere expresar la suma de los cuadrados de los primeros 10 naturales:
MPSetEqnAttrs('eq0017','',3,[[196,12,2,-1,-1],[262,16,2,-1,-1],[328,21,3,-1,-1],[],[],[],[819,50,9,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0017')
o sea,
MPDeleteCode('eq0018')
Como es fácil ver, el término general es
MPSetEqnAttrs('eq0019','',3,[[32,13,3,-1,-1],[44,18,4,-1,-1],[55,23,5,-1,-1],[],[],[],[136,54,13,-3,-3]])
, con lo que nuestra suma puede adquirir el aspecto más descansado
MPSetEqnAttrs('eq0020','',3,[[24,28,11,-1,-1],[32,39,16,-1,-1],[40,49,19,-1,-1],[],[],[],[100,117,47,-3,-3]])
. Así, se tiene la igualdad