Notación científica
La notación científica (o notación índice estándar) es un modo de representar un conjunto de números —ya sean enteros ó reales— mediante una técnica llamada coma flotante aplicada al sistema decimal es decir, potencias de base diez. Esta notación es utilizada en números demasiado grandes o demasiado pequeños. La notación científica es utilizada para reducir cantidades muy grandes, y que podamos manejar con más facilidad.
jueves, 27 de marzo de 2008
TABLAS DE FRECUENCIAS
Tabla de Frecuencias
Una tabla de frecuencias (también conocida como tabla de relaciones de frecuencias) es una tablaen la que se organizan los datos en clases, es decir, en grupos de valores que escriben una característica de los dato y muestra el número de observaciones del conjunto deque caen en cada una de las clases.
La tabla de frecuencias ayuda a agrupar cualquier tipo de dato numérico. En principio, en la tabla de frencuencias se detalla cada uno de los valores diferentes en el conjunto de datos junto con el número de veces que aparece, es decir, su frecuencia absolutaSe puede complementar la frecuencia absoluta con la denominada frecuencia relativa, que indica la frecuencia en porcentaje sobre el total de datos. En variables cuantitativas se distinguen por otra parte la frecuencia simple y la frecuencia acumulada.
La tabla de frecuencias puede representarse gráficamente en un histogramaNormalmente en el eje vertical se coloca las frecuencias y en el horizontal los intervalos de valores
Una tabla de frecuencias (también conocida como tabla de relaciones de frecuencias) es una tablaen la que se organizan los datos en clases, es decir, en grupos de valores que escriben una característica de los dato y muestra el número de observaciones del conjunto deque caen en cada una de las clases.
La tabla de frecuencias ayuda a agrupar cualquier tipo de dato numérico. En principio, en la tabla de frencuencias se detalla cada uno de los valores diferentes en el conjunto de datos junto con el número de veces que aparece, es decir, su frecuencia absolutaSe puede complementar la frecuencia absoluta con la denominada frecuencia relativa, que indica la frecuencia en porcentaje sobre el total de datos. En variables cuantitativas se distinguen por otra parte la frecuencia simple y la frecuencia acumulada.
La tabla de frecuencias puede representarse gráficamente en un histogramaNormalmente en el eje vertical se coloca las frecuencias y en el horizontal los intervalos de valores
DIAGRAMA DE CAJA
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
DIAGRAMA DE CAJAS Y BIGOTES (Box and Whisker Plot)
Presentación visual que describe al mismo tiempo varias características importantes de un conjunto de datos, tales como el centro, la dispersión, el alejamiento de la simetría, y la identificación de valores extremos (puntos atípicos), es decir, de valores que se alejan de una manera poco usual del resto de los datos.
Presenta los tres cuartiles, (y los valores mínimos y máximos) alineados sobre una caja vertical u horizontalmente.
Procedimiento
Para el diagrama de cajas y bigotes se requiere
Calcular la mediana y los otros dos cuartiles, con los cuales se formará la caja, que tiene la mediana como eje central, y como lados los dos cuartiles. Estos cuartiles reciben también los nombres de " bisagras". La altura (anchura) de la caja no interesa.
La distancia H definida como la distancia entre el cuartil superior y el cuartil inferior, es decir, corresponde al rango intecuartílico Þ H = Q3 - Q1 = RIC.
El paso correspondiente a 1.5 veces la distancia Þ Paso = 1.5 H
Cercas Internas, ubicadas a un paso de las bisagras o de los respectivos cuartiles. Así, las Cercas Internas Inferior (CIi) y Superior (CIs) estarán dadas por:CIi = Q1 - PasoCIs = Q3 + PasoSi la cerca interna inferior da menor que el valor mínimo de la muestra, ésta se hace igual al valor mínimo; igualmente, si la cerca interna superior da mayor que el valor máximo, ésta se hace igual a dicho valor.
Cercas Externas, ubicadas a un paso de las cercas internas. Así, las Cercas Externas Inferior (CEi) y Superior (CEs) estarán dadas por:CEi = CIi - PasoCEs = CIs + Paso
Se denominan "valores adyacentes" los ubicados entre las cercas internas y los bordes de las cajas. Por simplicidad no se grafican.
"Valores extremos" son los ubicados entre las dos cercas, y merecen especial atención, ya que pueden ser valores atípicos, que, en algunos casos, no pertenecen realmente a la distribución general de donde provienen los datos.
"Valores lejanos" o , ubicados por fuera de las cercas externas, correspondientes
DIAGRAMA DE CAJAS Y BIGOTES (Box and Whisker Plot)
Presentación visual que describe al mismo tiempo varias características importantes de un conjunto de datos, tales como el centro, la dispersión, el alejamiento de la simetría, y la identificación de valores extremos (puntos atípicos), es decir, de valores que se alejan de una manera poco usual del resto de los datos.
Presenta los tres cuartiles, (y los valores mínimos y máximos) alineados sobre una caja vertical u horizontalmente.
Procedimiento
Para el diagrama de cajas y bigotes se requiere
Calcular la mediana y los otros dos cuartiles, con los cuales se formará la caja, que tiene la mediana como eje central, y como lados los dos cuartiles. Estos cuartiles reciben también los nombres de " bisagras". La altura (anchura) de la caja no interesa.
La distancia H definida como la distancia entre el cuartil superior y el cuartil inferior, es decir, corresponde al rango intecuartílico Þ H = Q3 - Q1 = RIC.
El paso correspondiente a 1.5 veces la distancia Þ Paso = 1.5 H
Cercas Internas, ubicadas a un paso de las bisagras o de los respectivos cuartiles. Así, las Cercas Internas Inferior (CIi) y Superior (CIs) estarán dadas por:CIi = Q1 - PasoCIs = Q3 + PasoSi la cerca interna inferior da menor que el valor mínimo de la muestra, ésta se hace igual al valor mínimo; igualmente, si la cerca interna superior da mayor que el valor máximo, ésta se hace igual a dicho valor.
Cercas Externas, ubicadas a un paso de las cercas internas. Así, las Cercas Externas Inferior (CEi) y Superior (CEs) estarán dadas por:CEi = CIi - PasoCEs = CIs + Paso
Se denominan "valores adyacentes" los ubicados entre las cercas internas y los bordes de las cajas. Por simplicidad no se grafican.
"Valores extremos" son los ubicados entre las dos cercas, y merecen especial atención, ya que pueden ser valores atípicos, que, en algunos casos, no pertenecen realmente a la distribución general de donde provienen los datos.
"Valores lejanos" o , ubicados por fuera de las cercas externas, correspondientes
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
La Media Aritmética
La medida de tendencia central más obvia que se puede elegir, es el valor obtenido sumando las observaciones y dividiendo esta suma por el número de observaciones que hay en el grupo. La media resume en un valor las características de una variable teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas.
Ejemplo:Notas de 5 alumnos en una prueba:
Alumno Nota
1 6.0 ·entonces se suman las Notas:
2 5.4 60+54+31+70+62=277
3 3.1 ·Luego el total se divide por la cantidad de alumnos:
4 7.0 277/5=55.3
5 6.1 ·LA MEDIA ARITMÉTICA EN ESTE PROBLEMA SERIA 55.3
otra definicon
La Media Aritmética
inicio arriba
La medida de tendencia central mas ampliamente usada es la media aritmética, usualmente abreviada como media.
La media aritmética de un conjunto de n valores es el resultado de la suma de todos ellos dividido entre n.
Propiedades de la media aritmética
1. Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa e intervalar.
2. Todos los valores son incluidos en el cómputo de la media.
3. Una serie de datos solo tiene una media.
4. Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones.
5. Es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es igual a cero. Por lo tanto podemos considerar a la media como el punto de balance de una serie de datos.
Desventajas de la media aritmética
1. Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos.
2. No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.
Media muestral
Si se tiene una muestra estadística de valores (X1,X2,...,Xn) de valores para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,?) [donde ? es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima.
Distintas formas de escribir la fórmula
=== Une médiane === une Autre mesure de tendance centrale qui est utilisée par beaucoup de fréquence est la médiane, qui est la valeur située dans le milieu dans l'ensemble d'observations ordonnées par grandeur. qui se trouve dans une relation avec les autres comme elle moins utilisée de toutes.
Moda
Es el dato que más se repiten en la cuenta. Si existen dos datos que se repite un numero igual de veces entonces el conjunto será bimodal. Ejemplo:
Numero de personas en distintas casas en una villa:5-7-4-6-9-5-6-1-5-3-7
en este caso el numero que más se repite es 5 entonces la moda en este caso es 5.
Promedio Geométrico
La media geométrica de un conjunto de observaciones es la raíz n ésima de su producto. El cálculo de la media geométrica exige que todas las observaciones sean positivas.
Percentiles Los percentiles representan los valores de la variable que están por debajo de un porcentaje, el cual puede ser una valor de 1% a 100% (en otras palabras, el total de los datos es divido en 100 partes iguales).
A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada.
Si x1,x2,...,xn son nuestros datos y w1,w2,...,wn son sus ‘pesos’ respectivos la media ponderada se define de la siguiente
La media es invariante frente a transformaciones lineales (cambio de origen y escala) de las variables, es decir si x es una variable estadística y es otra variable estadística que depende linealmente de x , ( a representa la magnitud del cambio de escala y b la del cambio de origen).
== Propiedades de la Media o Promedio La media o Promedio tienen las siguientes propiedades
Se puede Sumar, Restar y multiplicar de la siguiente forma
Si tenemos :
1 - 2 - 3 - 4
entonces veremos lo siguiente :
Suma : Si sumamos una constante a cada variable veremos lo siguiente. Datos : 1 - 2 - 3 - 4 Media : Sumatoria de datos / Numero de datos => 10 / 4 => 2.5
Si Datos : 1 - 2 - 3 - 4 + Constante : 1 Datos : [(1+1) + (2+1) + (3+1) + (4+1)] /4 => 14/4 => 3.5
Entonces Vemos: que si aumentamos una constante a cada dato también deberemos de aumentarla al resultado. De la misma forma se muestra para la resta y multiplicación.
Moda
En la moda es el valor que cuenta con una mayor frecuencia en una distribución de datos
La medida de tendencia central más obvia que se puede elegir, es el valor obtenido sumando las observaciones y dividiendo esta suma por el número de observaciones que hay en el grupo. La media resume en un valor las características de una variable teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas.
Ejemplo:Notas de 5 alumnos en una prueba:
Alumno Nota
1 6.0 ·entonces se suman las Notas:
2 5.4 60+54+31+70+62=277
3 3.1 ·Luego el total se divide por la cantidad de alumnos:
4 7.0 277/5=55.3
5 6.1 ·LA MEDIA ARITMÉTICA EN ESTE PROBLEMA SERIA 55.3
otra definicon
La Media Aritmética
inicio arriba
La medida de tendencia central mas ampliamente usada es la media aritmética, usualmente abreviada como media.
La media aritmética de un conjunto de n valores es el resultado de la suma de todos ellos dividido entre n.
Propiedades de la media aritmética
1. Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa e intervalar.
2. Todos los valores son incluidos en el cómputo de la media.
3. Una serie de datos solo tiene una media.
4. Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones.
5. Es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es igual a cero. Por lo tanto podemos considerar a la media como el punto de balance de una serie de datos.
Desventajas de la media aritmética
1. Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos.
2. No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.
Media muestral
Si se tiene una muestra estadística de valores (X1,X2,...,Xn) de valores para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,?) [donde ? es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima.
Distintas formas de escribir la fórmula
=== Une médiane === une Autre mesure de tendance centrale qui est utilisée par beaucoup de fréquence est la médiane, qui est la valeur située dans le milieu dans l'ensemble d'observations ordonnées par grandeur. qui se trouve dans une relation avec les autres comme elle moins utilisée de toutes.
Moda
Es el dato que más se repiten en la cuenta. Si existen dos datos que se repite un numero igual de veces entonces el conjunto será bimodal. Ejemplo:
Numero de personas en distintas casas en una villa:5-7-4-6-9-5-6-1-5-3-7
en este caso el numero que más se repite es 5 entonces la moda en este caso es 5.
Promedio Geométrico
La media geométrica de un conjunto de observaciones es la raíz n ésima de su producto. El cálculo de la media geométrica exige que todas las observaciones sean positivas.
Percentiles Los percentiles representan los valores de la variable que están por debajo de un porcentaje, el cual puede ser una valor de 1% a 100% (en otras palabras, el total de los datos es divido en 100 partes iguales).
A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada.
Si x1,x2,...,xn son nuestros datos y w1,w2,...,wn son sus ‘pesos’ respectivos la media ponderada se define de la siguiente
La media es invariante frente a transformaciones lineales (cambio de origen y escala) de las variables, es decir si x es una variable estadística y es otra variable estadística que depende linealmente de x , ( a representa la magnitud del cambio de escala y b la del cambio de origen).
== Propiedades de la Media o Promedio La media o Promedio tienen las siguientes propiedades
Se puede Sumar, Restar y multiplicar de la siguiente forma
Si tenemos :
1 - 2 - 3 - 4
entonces veremos lo siguiente :
Suma : Si sumamos una constante a cada variable veremos lo siguiente. Datos : 1 - 2 - 3 - 4 Media : Sumatoria de datos / Numero de datos => 10 / 4 => 2.5
Si Datos : 1 - 2 - 3 - 4 + Constante : 1 Datos : [(1+1) + (2+1) + (3+1) + (4+1)] /4 => 14/4 => 3.5
Entonces Vemos: que si aumentamos una constante a cada dato también deberemos de aumentarla al resultado. De la misma forma se muestra para la resta y multiplicación.
Moda
En la moda es el valor que cuenta con una mayor frecuencia en una distribución de datos
SUMATORIA
El símbolo de sumatoria
Supóngase dada una cantidad finita de números, digamos
MPSetEqnAttrs('eq0001','',3,[[68,9,3,-1,-1],[91,11,4,-1,-1],[114,14,5,-1,-1],[],[],[],[285,36,13,-3,-3]])
y consideramos su suma
MPDeleteCode('eq0001')
MPSetEqnAttrs('eq0002','',3,[[90,10,3,-1,-1],[121,13,4,-1,-1],[151,16,5,-1,-1],[],[],[],[376,39,13,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0002')
En ocasiones es conveniente más hacer breve esta expresión, y esto se logra mediante el símbolo de suma
MPSetEqnAttrs('eq0003','',3,[[12,14,5,-1,-1],[16,18,5,-1,-1],[20,24,9,-1,-1],[],[],[],[50,60,18,-3,-3]])
, llamado sumatoria, cuya utilización pasamos a describir.
MPDeleteCode('eq0003')
Pondremos
MPSetEqnAttrs('eq0004','',3,[[127,26,11,-1,-1],[171,37,16,-1,-1],[212,46,19,-1,-1],[],[],[],[532,111,47,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0004')
En el especial caso en que sea
MPSetEqnAttrs('eq0005','',3,[[21,9,0,-1,-1],[29,11,0,-1,-1],[37,13,0,-1,-1],[],[],[],[89,33,1,-3,-3]])
,
MPSetEqnAttrs('eq0006','',3,[[44,28,11,-1,-1],[61,39,16,-1,-1],[75,49,19,-1,-1],[],[],[],[187,117,47,-3,-3]])
.
MPDeleteCode('eq0006')
MPDeleteCode('eq0005')
El elemento
MPSetEqnAttrs('eq0007','',3,[[9,9,3,-1,-1],[13,11,4,-1,-1],[16,14,5,-1,-1],[],[],[],[39,36,13,-3,-3]])
se llama término general de la suma y, en muchos casos prácticos, es preciso conocer el aspecto de este término general.
MPDeleteCode('eq0007')
El número
MPSetEqnAttrs('eq0008','',3,[[6,9,0,-1,-1],[8,11,0,-1,-1],[10,14,0,-1,-1],[],[],[],[24,35,1,-3,-3]])
que figura debajo del símbolo
MPSetEqnAttrs('eq0009','',3,[[12,14,5,-1,-1],[16,18,5,-1,-1],[20,24,9,-1,-1],[],[],[],[50,60,18,-3,-3]])
se llama índice de sumación , y entendemos que los valores que toma este índice son
MPSetEqnAttrs('eq0010','',3,[[46,11,2,-1,-1],[61,13,2,-1,-1],[77,16,3,-1,-1],[],[],[],[194,42,9,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0010')
MPDeleteCode('eq0009')
MPDeleteCode('eq0008')
Más generalmente, si
MPSetEqnAttrs('eq0011','',3,[[6,9,3,-1,-1],[9,10,3,-1,-1],[12,13,4,-1,-1],[],[],[],[30,34,11,-3,-3]])
y
MPSetEqnAttrs('eq0012','',3,[[5,9,3,-1,-1],[7,10,3,-1,-1],[10,13,4,-1,-1],[],[],[],[24,34,11,-3,-3]])
son dos números enteros, con
MPSetEqnAttrs('eq0013','',3,[[24,12,3,-1,-1],[33,13,3,-1,-1],[43,16,4,-1,-1],[],[],[],[107,40,11,-3,-3]])
, pondremos
MPDeleteCode('eq0013')
MPDeleteCode('eq0012')
MPDeleteCode('eq0011')
MPSetEqnAttrs('eq0014','',3,[[119,29,13,-1,-1],[159,39,17,-1,-1],[199,47,21,-1,-1],[],[],[],[498,120,54,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0014')
En este contexto, el número
MPSetEqnAttrs('eq0015','',3,[[6,9,3,-1,-1],[9,10,3,-1,-1],[12,13,4,-1,-1],[],[],[],[30,34,11,-3,-3]])
se llama límite inferior de la suma , en tanto
MPSetEqnAttrs('eq0016','',3,[[5,9,3,-1,-1],[7,10,3,-1,-1],[10,13,4,-1,-1],[],[],[],[24,34,11,-3,-3]])
es el límite superior de esa suma.
MPDeleteCode('eq0016')
MPDeleteCode('eq0015')
Ejemplos.
a) Se quiere expresar la suma de los cuadrados de los primeros 10 naturales:
MPSetEqnAttrs('eq0017','',3,[[196,12,2,-1,-1],[262,16,2,-1,-1],[328,21,3,-1,-1],[],[],[],[819,50,9,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0017')
o sea,
MPDeleteCode('eq0018')
Como es fácil ver, el término general es
MPSetEqnAttrs('eq0019','',3,[[32,13,3,-1,-1],[44,18,4,-1,-1],[55,23,5,-1,-1],[],[],[],[136,54,13,-3,-3]])
, con lo que nuestra suma puede adquirir el aspecto más descansado
MPSetEqnAttrs('eq0020','',3,[[24,28,11,-1,-1],[32,39,16,-1,-1],[40,49,19,-1,-1],[],[],[],[100,117,47,-3,-3]])
. Así, se tiene la igualdad
Supóngase dada una cantidad finita de números, digamos
MPSetEqnAttrs('eq0001','',3,[[68,9,3,-1,-1],[91,11,4,-1,-1],[114,14,5,-1,-1],[],[],[],[285,36,13,-3,-3]])
y consideramos su suma
MPDeleteCode('eq0001')
MPSetEqnAttrs('eq0002','',3,[[90,10,3,-1,-1],[121,13,4,-1,-1],[151,16,5,-1,-1],[],[],[],[376,39,13,-3,-3]])
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En ocasiones es conveniente más hacer breve esta expresión, y esto se logra mediante el símbolo de suma
MPSetEqnAttrs('eq0003','',3,[[12,14,5,-1,-1],[16,18,5,-1,-1],[20,24,9,-1,-1],[],[],[],[50,60,18,-3,-3]])
, llamado sumatoria, cuya utilización pasamos a describir.
MPDeleteCode('eq0003')
Pondremos
MPSetEqnAttrs('eq0004','',3,[[127,26,11,-1,-1],[171,37,16,-1,-1],[212,46,19,-1,-1],[],[],[],[532,111,47,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0004')
En el especial caso en que sea
MPSetEqnAttrs('eq0005','',3,[[21,9,0,-1,-1],[29,11,0,-1,-1],[37,13,0,-1,-1],[],[],[],[89,33,1,-3,-3]])
,
MPSetEqnAttrs('eq0006','',3,[[44,28,11,-1,-1],[61,39,16,-1,-1],[75,49,19,-1,-1],[],[],[],[187,117,47,-3,-3]])
.
MPDeleteCode('eq0006')
MPDeleteCode('eq0005')
El elemento
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se llama término general de la suma y, en muchos casos prácticos, es preciso conocer el aspecto de este término general.
MPDeleteCode('eq0007')
El número
MPSetEqnAttrs('eq0008','',3,[[6,9,0,-1,-1],[8,11,0,-1,-1],[10,14,0,-1,-1],[],[],[],[24,35,1,-3,-3]])
que figura debajo del símbolo
MPSetEqnAttrs('eq0009','',3,[[12,14,5,-1,-1],[16,18,5,-1,-1],[20,24,9,-1,-1],[],[],[],[50,60,18,-3,-3]])
se llama índice de sumación , y entendemos que los valores que toma este índice son
MPSetEqnAttrs('eq0010','',3,[[46,11,2,-1,-1],[61,13,2,-1,-1],[77,16,3,-1,-1],[],[],[],[194,42,9,-3,-3]])
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MPDeleteCode('eq0009')
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Más generalmente, si
MPSetEqnAttrs('eq0011','',3,[[6,9,3,-1,-1],[9,10,3,-1,-1],[12,13,4,-1,-1],[],[],[],[30,34,11,-3,-3]])
y
MPSetEqnAttrs('eq0012','',3,[[5,9,3,-1,-1],[7,10,3,-1,-1],[10,13,4,-1,-1],[],[],[],[24,34,11,-3,-3]])
son dos números enteros, con
MPSetEqnAttrs('eq0013','',3,[[24,12,3,-1,-1],[33,13,3,-1,-1],[43,16,4,-1,-1],[],[],[],[107,40,11,-3,-3]])
, pondremos
MPDeleteCode('eq0013')
MPDeleteCode('eq0012')
MPDeleteCode('eq0011')
MPSetEqnAttrs('eq0014','',3,[[119,29,13,-1,-1],[159,39,17,-1,-1],[199,47,21,-1,-1],[],[],[],[498,120,54,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0014')
En este contexto, el número
MPSetEqnAttrs('eq0015','',3,[[6,9,3,-1,-1],[9,10,3,-1,-1],[12,13,4,-1,-1],[],[],[],[30,34,11,-3,-3]])
se llama límite inferior de la suma , en tanto
MPSetEqnAttrs('eq0016','',3,[[5,9,3,-1,-1],[7,10,3,-1,-1],[10,13,4,-1,-1],[],[],[],[24,34,11,-3,-3]])
es el límite superior de esa suma.
MPDeleteCode('eq0016')
MPDeleteCode('eq0015')
Ejemplos.
a) Se quiere expresar la suma de los cuadrados de los primeros 10 naturales:
MPSetEqnAttrs('eq0017','',3,[[196,12,2,-1,-1],[262,16,2,-1,-1],[328,21,3,-1,-1],[],[],[],[819,50,9,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0017')
o sea,
MPDeleteCode('eq0018')
Como es fácil ver, el término general es
MPSetEqnAttrs('eq0019','',3,[[32,13,3,-1,-1],[44,18,4,-1,-1],[55,23,5,-1,-1],[],[],[],[136,54,13,-3,-3]])
, con lo que nuestra suma puede adquirir el aspecto más descansado
MPSetEqnAttrs('eq0020','',3,[[24,28,11,-1,-1],[32,39,16,-1,-1],[40,49,19,-1,-1],[],[],[],[100,117,47,-3,-3]])
. Así, se tiene la igualdad
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