viernes, 26 de septiembre de 2008
ESPERANZA MATEMATICA
Ccon frecuencia es conveniente calcular el promedio de los resultados de unproceso o esperimento ponderado por la probabilidad de que suceda cada uno de los resultados posibles.
ARBOL DE PROBABILIDADES
un arbol de probabilidades es una grafica que presenta los resultados posibles de un evento asi como la probabilidad de cada uno de ellos.
CLASIFICACION DE LOS EVENTOS
MUTUAMENTE EXCLUYENTES O DISJUNTOS: aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo.
INDEPENDIENTES: estos no se ven afectados por otros.
DEPENDIENTES: cuando un evento afecta la probabilidad de que suceda otro.
NO EXCLUYENTES ENTRE SI: cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que suceda tambien el otro.
INDEPENDIENTES: estos no se ven afectados por otros.
DEPENDIENTES: cuando un evento afecta la probabilidad de que suceda otro.
NO EXCLUYENTES ENTRE SI: cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que suceda tambien el otro.
CLASIFICACION DE LA PROBABILIDAD
PROBABILIDAD CLASICA: supone que todos los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir. Esta es la relacion entre el numero de eventos señalados como exitosos respecto al total de eventos posibles.
COMENTARIO: esta probabilidad hace que todas las respuestas que puedan salir de un diagrama de arbol sean las que probablemente salgan de un acontecimiento,
PROBABILIDAD RELATIVA: la probabilidad objetiva bajo el enfoque de frecuencia relativa define la probabilidad como la relacion entre el numero de eventos favorables obtenidos respecto al total de intentos.
COMENTARIO: esto nos quiere decir que con todos los intentos que se hagan se encontrara una respuesta mas concreta sobre una probabilidad.
COMENTARIO: esta probabilidad hace que todas las respuestas que puedan salir de un diagrama de arbol sean las que probablemente salgan de un acontecimiento,
PROBABILIDAD RELATIVA: la probabilidad objetiva bajo el enfoque de frecuencia relativa define la probabilidad como la relacion entre el numero de eventos favorables obtenidos respecto al total de intentos.
COMENTARIO: esto nos quiere decir que con todos los intentos que se hagan se encontrara una respuesta mas concreta sobre una probabilidad.
PROBABILIDAD
La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.
COMENTARIO: con esto podremos medir o saber que resultado obtendremos al realizar alguna operacion.
COMENTARIO: con esto podremos medir o saber que resultado obtendremos al realizar alguna operacion.
TEORIA DEL CONTEO
Introducción a las probabilidades
Algunos tópicos sobre Conjuntos.
La teoría de conjuntos es de mucha utilidad en el desarrollo de las probabilidades, y es por ello que se debe revisar los conocimientos sobre las operaciones de conjuntos como lo son: la unión, la intersección, el complemento de un conjunto, etc.
.- Consideraremos a W como el conjunto universal el cual posee todos los elementos posibles, así el conjunto A es un subconjunto de W si todos los elementos de A son elementos de W, y se denota:
A Ì W si para todo x ÎA, x Î W
.- Sean A y B dos conjuntos cuales quiera entonces:
la unión se define como: C = A È B = { x / xÎA o xÎB};
la intersección se define como: C = A Ç B = { x / xÎA y xÎB};
el complemento se define como: Ac = { x Î W / x Ï A },
El conjunto que no posee elementos se denomina conjunto vacío y se denota por Æ . (Notemos que A Ç Ac = Æ )
Diremos que A y B son disjuntos o mutuamente excluyente si: A Ç B = Æ.
Para resolver algunos problemas de probabilidades es necesario conocer el numero de elementos que posee cierto conjunto y el conjunto universal, denominado, en probabilidades, espacio muestral, es por ello que se debe saber como determinar el número de elementos de cualquier conjunto, tarea que puede ser algo complicado, sin embargo en algunos casos esto se puede realizar y por ello es que es importante el aprender a calcular este número.
COMENTARIO: CON ESTA TEORIA SE PODRA ENCONTRAR CUANTAS PERMUTACIONES O COMBINACIONES SE PODRAN DAR DE UN PLANTEAMIENTO QUE SE DE
Algunos tópicos sobre Conjuntos.
La teoría de conjuntos es de mucha utilidad en el desarrollo de las probabilidades, y es por ello que se debe revisar los conocimientos sobre las operaciones de conjuntos como lo son: la unión, la intersección, el complemento de un conjunto, etc.
.- Consideraremos a W como el conjunto universal el cual posee todos los elementos posibles, así el conjunto A es un subconjunto de W si todos los elementos de A son elementos de W, y se denota:
A Ì W si para todo x ÎA, x Î W
.- Sean A y B dos conjuntos cuales quiera entonces:
la unión se define como: C = A È B = { x / xÎA o xÎB};
la intersección se define como: C = A Ç B = { x / xÎA y xÎB};
el complemento se define como: Ac = { x Î W / x Ï A },
El conjunto que no posee elementos se denomina conjunto vacío y se denota por Æ . (Notemos que A Ç Ac = Æ )
Diremos que A y B son disjuntos o mutuamente excluyente si: A Ç B = Æ.
Para resolver algunos problemas de probabilidades es necesario conocer el numero de elementos que posee cierto conjunto y el conjunto universal, denominado, en probabilidades, espacio muestral, es por ello que se debe saber como determinar el número de elementos de cualquier conjunto, tarea que puede ser algo complicado, sin embargo en algunos casos esto se puede realizar y por ello es que es importante el aprender a calcular este número.
COMENTARIO: CON ESTA TEORIA SE PODRA ENCONTRAR CUANTAS PERMUTACIONES O COMBINACIONES SE PODRAN DAR DE UN PLANTEAMIENTO QUE SE DE
lunes, 26 de mayo de 2008
DIAGRAMA DE CAJAS
El diagrama de cajas y bigotes son una presentacion grafica y visualizada, que describe varias caracteristicas importantes, almismo tiempo tales como dispercion y simetria.
DIAGRAMA DE CAJAS
El diagrama de cajas y bigotes son una presentacion grafica y visualizadaq, quedescribe varias caracteristicas importantes, al mismo tiempo tales como dispercion y simetria.
VALORES ESTANDARIZADOS
Indica la direccion y el grado en que cualquier puntaje crudo se desvia de la media de una distribucion en una escala de unidades por arriba de la media, mientras que un puntaje z de 2,1 significa que el puntaje cae un poco más de 2 por debajo de la media
AREA BAJO LA CURVA NORMAL
Es un tipo de curva uniforme y simetrica cuya forma recuerda a muchos una campana, por lo que se le conboce como la " curva en forma de campana ". el rasgo más importante de la curva normal es su simetria, ya que sio la doblamos la curva en su punto mas alto al centro, crearíamos dos mitades iguales, es unimodal, porque solo tiene un pico o punto de maxima frecuencia (es el punto en la mitd de la curva en el cual coinciden la media, la mediana y la moda)
jueves, 27 de marzo de 2008
NOTACION CIENTIFICA
Notación científica
La notación científica (o notación índice estándar) es un modo de representar un conjunto de números —ya sean enteros ó reales— mediante una técnica llamada coma flotante aplicada al sistema decimal es decir, potencias de base diez. Esta notación es utilizada en números demasiado grandes o demasiado pequeños. La notación científica es utilizada para reducir cantidades muy grandes, y que podamos manejar con más facilidad.
La notación científica (o notación índice estándar) es un modo de representar un conjunto de números —ya sean enteros ó reales— mediante una técnica llamada coma flotante aplicada al sistema decimal es decir, potencias de base diez. Esta notación es utilizada en números demasiado grandes o demasiado pequeños. La notación científica es utilizada para reducir cantidades muy grandes, y que podamos manejar con más facilidad.
TABLAS DE FRECUENCIAS
Tabla de Frecuencias
Una tabla de frecuencias (también conocida como tabla de relaciones de frecuencias) es una tablaen la que se organizan los datos en clases, es decir, en grupos de valores que escriben una característica de los dato y muestra el número de observaciones del conjunto deque caen en cada una de las clases.
La tabla de frecuencias ayuda a agrupar cualquier tipo de dato numérico. En principio, en la tabla de frencuencias se detalla cada uno de los valores diferentes en el conjunto de datos junto con el número de veces que aparece, es decir, su frecuencia absolutaSe puede complementar la frecuencia absoluta con la denominada frecuencia relativa, que indica la frecuencia en porcentaje sobre el total de datos. En variables cuantitativas se distinguen por otra parte la frecuencia simple y la frecuencia acumulada.
La tabla de frecuencias puede representarse gráficamente en un histogramaNormalmente en el eje vertical se coloca las frecuencias y en el horizontal los intervalos de valores
Una tabla de frecuencias (también conocida como tabla de relaciones de frecuencias) es una tablaen la que se organizan los datos en clases, es decir, en grupos de valores que escriben una característica de los dato y muestra el número de observaciones del conjunto deque caen en cada una de las clases.
La tabla de frecuencias ayuda a agrupar cualquier tipo de dato numérico. En principio, en la tabla de frencuencias se detalla cada uno de los valores diferentes en el conjunto de datos junto con el número de veces que aparece, es decir, su frecuencia absolutaSe puede complementar la frecuencia absoluta con la denominada frecuencia relativa, que indica la frecuencia en porcentaje sobre el total de datos. En variables cuantitativas se distinguen por otra parte la frecuencia simple y la frecuencia acumulada.
La tabla de frecuencias puede representarse gráficamente en un histogramaNormalmente en el eje vertical se coloca las frecuencias y en el horizontal los intervalos de valores
DIAGRAMA DE CAJA
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
DIAGRAMA DE CAJAS Y BIGOTES (Box and Whisker Plot)
Presentación visual que describe al mismo tiempo varias características importantes de un conjunto de datos, tales como el centro, la dispersión, el alejamiento de la simetría, y la identificación de valores extremos (puntos atípicos), es decir, de valores que se alejan de una manera poco usual del resto de los datos.
Presenta los tres cuartiles, (y los valores mínimos y máximos) alineados sobre una caja vertical u horizontalmente.
Procedimiento
Para el diagrama de cajas y bigotes se requiere
Calcular la mediana y los otros dos cuartiles, con los cuales se formará la caja, que tiene la mediana como eje central, y como lados los dos cuartiles. Estos cuartiles reciben también los nombres de " bisagras". La altura (anchura) de la caja no interesa.
La distancia H definida como la distancia entre el cuartil superior y el cuartil inferior, es decir, corresponde al rango intecuartílico Þ H = Q3 - Q1 = RIC.
El paso correspondiente a 1.5 veces la distancia Þ Paso = 1.5 H
Cercas Internas, ubicadas a un paso de las bisagras o de los respectivos cuartiles. Así, las Cercas Internas Inferior (CIi) y Superior (CIs) estarán dadas por:CIi = Q1 - PasoCIs = Q3 + PasoSi la cerca interna inferior da menor que el valor mínimo de la muestra, ésta se hace igual al valor mínimo; igualmente, si la cerca interna superior da mayor que el valor máximo, ésta se hace igual a dicho valor.
Cercas Externas, ubicadas a un paso de las cercas internas. Así, las Cercas Externas Inferior (CEi) y Superior (CEs) estarán dadas por:CEi = CIi - PasoCEs = CIs + Paso
Se denominan "valores adyacentes" los ubicados entre las cercas internas y los bordes de las cajas. Por simplicidad no se grafican.
"Valores extremos" son los ubicados entre las dos cercas, y merecen especial atención, ya que pueden ser valores atípicos, que, en algunos casos, no pertenecen realmente a la distribución general de donde provienen los datos.
"Valores lejanos" o , ubicados por fuera de las cercas externas, correspondientes
DIAGRAMA DE CAJAS Y BIGOTES (Box and Whisker Plot)
Presentación visual que describe al mismo tiempo varias características importantes de un conjunto de datos, tales como el centro, la dispersión, el alejamiento de la simetría, y la identificación de valores extremos (puntos atípicos), es decir, de valores que se alejan de una manera poco usual del resto de los datos.
Presenta los tres cuartiles, (y los valores mínimos y máximos) alineados sobre una caja vertical u horizontalmente.
Procedimiento
Para el diagrama de cajas y bigotes se requiere
Calcular la mediana y los otros dos cuartiles, con los cuales se formará la caja, que tiene la mediana como eje central, y como lados los dos cuartiles. Estos cuartiles reciben también los nombres de " bisagras". La altura (anchura) de la caja no interesa.
La distancia H definida como la distancia entre el cuartil superior y el cuartil inferior, es decir, corresponde al rango intecuartílico Þ H = Q3 - Q1 = RIC.
El paso correspondiente a 1.5 veces la distancia Þ Paso = 1.5 H
Cercas Internas, ubicadas a un paso de las bisagras o de los respectivos cuartiles. Así, las Cercas Internas Inferior (CIi) y Superior (CIs) estarán dadas por:CIi = Q1 - PasoCIs = Q3 + PasoSi la cerca interna inferior da menor que el valor mínimo de la muestra, ésta se hace igual al valor mínimo; igualmente, si la cerca interna superior da mayor que el valor máximo, ésta se hace igual a dicho valor.
Cercas Externas, ubicadas a un paso de las cercas internas. Así, las Cercas Externas Inferior (CEi) y Superior (CEs) estarán dadas por:CEi = CIi - PasoCEs = CIs + Paso
Se denominan "valores adyacentes" los ubicados entre las cercas internas y los bordes de las cajas. Por simplicidad no se grafican.
"Valores extremos" son los ubicados entre las dos cercas, y merecen especial atención, ya que pueden ser valores atípicos, que, en algunos casos, no pertenecen realmente a la distribución general de donde provienen los datos.
"Valores lejanos" o , ubicados por fuera de las cercas externas, correspondientes
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
La Media Aritmética
La medida de tendencia central más obvia que se puede elegir, es el valor obtenido sumando las observaciones y dividiendo esta suma por el número de observaciones que hay en el grupo. La media resume en un valor las características de una variable teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas.
Ejemplo:Notas de 5 alumnos en una prueba:
Alumno Nota
1 6.0 ·entonces se suman las Notas:
2 5.4 60+54+31+70+62=277
3 3.1 ·Luego el total se divide por la cantidad de alumnos:
4 7.0 277/5=55.3
5 6.1 ·LA MEDIA ARITMÉTICA EN ESTE PROBLEMA SERIA 55.3
otra definicon
La Media Aritmética
inicio arriba
La medida de tendencia central mas ampliamente usada es la media aritmética, usualmente abreviada como media.
La media aritmética de un conjunto de n valores es el resultado de la suma de todos ellos dividido entre n.
Propiedades de la media aritmética
1. Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa e intervalar.
2. Todos los valores son incluidos en el cómputo de la media.
3. Una serie de datos solo tiene una media.
4. Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones.
5. Es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es igual a cero. Por lo tanto podemos considerar a la media como el punto de balance de una serie de datos.
Desventajas de la media aritmética
1. Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos.
2. No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.
Media muestral
Si se tiene una muestra estadística de valores (X1,X2,...,Xn) de valores para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,?) [donde ? es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima.
Distintas formas de escribir la fórmula
=== Une médiane === une Autre mesure de tendance centrale qui est utilisée par beaucoup de fréquence est la médiane, qui est la valeur située dans le milieu dans l'ensemble d'observations ordonnées par grandeur. qui se trouve dans une relation avec les autres comme elle moins utilisée de toutes.
Moda
Es el dato que más se repiten en la cuenta. Si existen dos datos que se repite un numero igual de veces entonces el conjunto será bimodal. Ejemplo:
Numero de personas en distintas casas en una villa:5-7-4-6-9-5-6-1-5-3-7
en este caso el numero que más se repite es 5 entonces la moda en este caso es 5.
Promedio Geométrico
La media geométrica de un conjunto de observaciones es la raíz n ésima de su producto. El cálculo de la media geométrica exige que todas las observaciones sean positivas.
Percentiles Los percentiles representan los valores de la variable que están por debajo de un porcentaje, el cual puede ser una valor de 1% a 100% (en otras palabras, el total de los datos es divido en 100 partes iguales).
A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada.
Si x1,x2,...,xn son nuestros datos y w1,w2,...,wn son sus ‘pesos’ respectivos la media ponderada se define de la siguiente
La media es invariante frente a transformaciones lineales (cambio de origen y escala) de las variables, es decir si x es una variable estadística y es otra variable estadística que depende linealmente de x , ( a representa la magnitud del cambio de escala y b la del cambio de origen).
== Propiedades de la Media o Promedio La media o Promedio tienen las siguientes propiedades
Se puede Sumar, Restar y multiplicar de la siguiente forma
Si tenemos :
1 - 2 - 3 - 4
entonces veremos lo siguiente :
Suma : Si sumamos una constante a cada variable veremos lo siguiente. Datos : 1 - 2 - 3 - 4 Media : Sumatoria de datos / Numero de datos => 10 / 4 => 2.5
Si Datos : 1 - 2 - 3 - 4 + Constante : 1 Datos : [(1+1) + (2+1) + (3+1) + (4+1)] /4 => 14/4 => 3.5
Entonces Vemos: que si aumentamos una constante a cada dato también deberemos de aumentarla al resultado. De la misma forma se muestra para la resta y multiplicación.
Moda
En la moda es el valor que cuenta con una mayor frecuencia en una distribución de datos
La medida de tendencia central más obvia que se puede elegir, es el valor obtenido sumando las observaciones y dividiendo esta suma por el número de observaciones que hay en el grupo. La media resume en un valor las características de una variable teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas.
Ejemplo:Notas de 5 alumnos en una prueba:
Alumno Nota
1 6.0 ·entonces se suman las Notas:
2 5.4 60+54+31+70+62=277
3 3.1 ·Luego el total se divide por la cantidad de alumnos:
4 7.0 277/5=55.3
5 6.1 ·LA MEDIA ARITMÉTICA EN ESTE PROBLEMA SERIA 55.3
otra definicon
La Media Aritmética
inicio arriba
La medida de tendencia central mas ampliamente usada es la media aritmética, usualmente abreviada como media.
La media aritmética de un conjunto de n valores es el resultado de la suma de todos ellos dividido entre n.
Propiedades de la media aritmética
1. Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa e intervalar.
2. Todos los valores son incluidos en el cómputo de la media.
3. Una serie de datos solo tiene una media.
4. Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones.
5. Es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es igual a cero. Por lo tanto podemos considerar a la media como el punto de balance de una serie de datos.
Desventajas de la media aritmética
1. Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos.
2. No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.
Media muestral
Si se tiene una muestra estadística de valores (X1,X2,...,Xn) de valores para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,?) [donde ? es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima.
Distintas formas de escribir la fórmula
=== Une médiane === une Autre mesure de tendance centrale qui est utilisée par beaucoup de fréquence est la médiane, qui est la valeur située dans le milieu dans l'ensemble d'observations ordonnées par grandeur. qui se trouve dans une relation avec les autres comme elle moins utilisée de toutes.
Moda
Es el dato que más se repiten en la cuenta. Si existen dos datos que se repite un numero igual de veces entonces el conjunto será bimodal. Ejemplo:
Numero de personas en distintas casas en una villa:5-7-4-6-9-5-6-1-5-3-7
en este caso el numero que más se repite es 5 entonces la moda en este caso es 5.
Promedio Geométrico
La media geométrica de un conjunto de observaciones es la raíz n ésima de su producto. El cálculo de la media geométrica exige que todas las observaciones sean positivas.
Percentiles Los percentiles representan los valores de la variable que están por debajo de un porcentaje, el cual puede ser una valor de 1% a 100% (en otras palabras, el total de los datos es divido en 100 partes iguales).
A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada.
Si x1,x2,...,xn son nuestros datos y w1,w2,...,wn son sus ‘pesos’ respectivos la media ponderada se define de la siguiente
La media es invariante frente a transformaciones lineales (cambio de origen y escala) de las variables, es decir si x es una variable estadística y es otra variable estadística que depende linealmente de x , ( a representa la magnitud del cambio de escala y b la del cambio de origen).
== Propiedades de la Media o Promedio La media o Promedio tienen las siguientes propiedades
Se puede Sumar, Restar y multiplicar de la siguiente forma
Si tenemos :
1 - 2 - 3 - 4
entonces veremos lo siguiente :
Suma : Si sumamos una constante a cada variable veremos lo siguiente. Datos : 1 - 2 - 3 - 4 Media : Sumatoria de datos / Numero de datos => 10 / 4 => 2.5
Si Datos : 1 - 2 - 3 - 4 + Constante : 1 Datos : [(1+1) + (2+1) + (3+1) + (4+1)] /4 => 14/4 => 3.5
Entonces Vemos: que si aumentamos una constante a cada dato también deberemos de aumentarla al resultado. De la misma forma se muestra para la resta y multiplicación.
Moda
En la moda es el valor que cuenta con una mayor frecuencia en una distribución de datos
SUMATORIA
El símbolo de sumatoria
Supóngase dada una cantidad finita de números, digamos
MPSetEqnAttrs('eq0001','',3,[[68,9,3,-1,-1],[91,11,4,-1,-1],[114,14,5,-1,-1],[],[],[],[285,36,13,-3,-3]])
y consideramos su suma
MPDeleteCode('eq0001')
MPSetEqnAttrs('eq0002','',3,[[90,10,3,-1,-1],[121,13,4,-1,-1],[151,16,5,-1,-1],[],[],[],[376,39,13,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0002')
En ocasiones es conveniente más hacer breve esta expresión, y esto se logra mediante el símbolo de suma
MPSetEqnAttrs('eq0003','',3,[[12,14,5,-1,-1],[16,18,5,-1,-1],[20,24,9,-1,-1],[],[],[],[50,60,18,-3,-3]])
, llamado sumatoria, cuya utilización pasamos a describir.
MPDeleteCode('eq0003')
Pondremos
MPSetEqnAttrs('eq0004','',3,[[127,26,11,-1,-1],[171,37,16,-1,-1],[212,46,19,-1,-1],[],[],[],[532,111,47,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0004')
En el especial caso en que sea
MPSetEqnAttrs('eq0005','',3,[[21,9,0,-1,-1],[29,11,0,-1,-1],[37,13,0,-1,-1],[],[],[],[89,33,1,-3,-3]])
,
MPSetEqnAttrs('eq0006','',3,[[44,28,11,-1,-1],[61,39,16,-1,-1],[75,49,19,-1,-1],[],[],[],[187,117,47,-3,-3]])
.
MPDeleteCode('eq0006')
MPDeleteCode('eq0005')
El elemento
MPSetEqnAttrs('eq0007','',3,[[9,9,3,-1,-1],[13,11,4,-1,-1],[16,14,5,-1,-1],[],[],[],[39,36,13,-3,-3]])
se llama término general de la suma y, en muchos casos prácticos, es preciso conocer el aspecto de este término general.
MPDeleteCode('eq0007')
El número
MPSetEqnAttrs('eq0008','',3,[[6,9,0,-1,-1],[8,11,0,-1,-1],[10,14,0,-1,-1],[],[],[],[24,35,1,-3,-3]])
que figura debajo del símbolo
MPSetEqnAttrs('eq0009','',3,[[12,14,5,-1,-1],[16,18,5,-1,-1],[20,24,9,-1,-1],[],[],[],[50,60,18,-3,-3]])
se llama índice de sumación , y entendemos que los valores que toma este índice son
MPSetEqnAttrs('eq0010','',3,[[46,11,2,-1,-1],[61,13,2,-1,-1],[77,16,3,-1,-1],[],[],[],[194,42,9,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0010')
MPDeleteCode('eq0009')
MPDeleteCode('eq0008')
Más generalmente, si
MPSetEqnAttrs('eq0011','',3,[[6,9,3,-1,-1],[9,10,3,-1,-1],[12,13,4,-1,-1],[],[],[],[30,34,11,-3,-3]])
y
MPSetEqnAttrs('eq0012','',3,[[5,9,3,-1,-1],[7,10,3,-1,-1],[10,13,4,-1,-1],[],[],[],[24,34,11,-3,-3]])
son dos números enteros, con
MPSetEqnAttrs('eq0013','',3,[[24,12,3,-1,-1],[33,13,3,-1,-1],[43,16,4,-1,-1],[],[],[],[107,40,11,-3,-3]])
, pondremos
MPDeleteCode('eq0013')
MPDeleteCode('eq0012')
MPDeleteCode('eq0011')
MPSetEqnAttrs('eq0014','',3,[[119,29,13,-1,-1],[159,39,17,-1,-1],[199,47,21,-1,-1],[],[],[],[498,120,54,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0014')
En este contexto, el número
MPSetEqnAttrs('eq0015','',3,[[6,9,3,-1,-1],[9,10,3,-1,-1],[12,13,4,-1,-1],[],[],[],[30,34,11,-3,-3]])
se llama límite inferior de la suma , en tanto
MPSetEqnAttrs('eq0016','',3,[[5,9,3,-1,-1],[7,10,3,-1,-1],[10,13,4,-1,-1],[],[],[],[24,34,11,-3,-3]])
es el límite superior de esa suma.
MPDeleteCode('eq0016')
MPDeleteCode('eq0015')
Ejemplos.
a) Se quiere expresar la suma de los cuadrados de los primeros 10 naturales:
MPSetEqnAttrs('eq0017','',3,[[196,12,2,-1,-1],[262,16,2,-1,-1],[328,21,3,-1,-1],[],[],[],[819,50,9,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0017')
o sea,
MPDeleteCode('eq0018')
Como es fácil ver, el término general es
MPSetEqnAttrs('eq0019','',3,[[32,13,3,-1,-1],[44,18,4,-1,-1],[55,23,5,-1,-1],[],[],[],[136,54,13,-3,-3]])
, con lo que nuestra suma puede adquirir el aspecto más descansado
MPSetEqnAttrs('eq0020','',3,[[24,28,11,-1,-1],[32,39,16,-1,-1],[40,49,19,-1,-1],[],[],[],[100,117,47,-3,-3]])
. Así, se tiene la igualdad
Supóngase dada una cantidad finita de números, digamos
MPSetEqnAttrs('eq0001','',3,[[68,9,3,-1,-1],[91,11,4,-1,-1],[114,14,5,-1,-1],[],[],[],[285,36,13,-3,-3]])
y consideramos su suma
MPDeleteCode('eq0001')
MPSetEqnAttrs('eq0002','',3,[[90,10,3,-1,-1],[121,13,4,-1,-1],[151,16,5,-1,-1],[],[],[],[376,39,13,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0002')
En ocasiones es conveniente más hacer breve esta expresión, y esto se logra mediante el símbolo de suma
MPSetEqnAttrs('eq0003','',3,[[12,14,5,-1,-1],[16,18,5,-1,-1],[20,24,9,-1,-1],[],[],[],[50,60,18,-3,-3]])
, llamado sumatoria, cuya utilización pasamos a describir.
MPDeleteCode('eq0003')
Pondremos
MPSetEqnAttrs('eq0004','',3,[[127,26,11,-1,-1],[171,37,16,-1,-1],[212,46,19,-1,-1],[],[],[],[532,111,47,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0004')
En el especial caso en que sea
MPSetEqnAttrs('eq0005','',3,[[21,9,0,-1,-1],[29,11,0,-1,-1],[37,13,0,-1,-1],[],[],[],[89,33,1,-3,-3]])
,
MPSetEqnAttrs('eq0006','',3,[[44,28,11,-1,-1],[61,39,16,-1,-1],[75,49,19,-1,-1],[],[],[],[187,117,47,-3,-3]])
.
MPDeleteCode('eq0006')
MPDeleteCode('eq0005')
El elemento
MPSetEqnAttrs('eq0007','',3,[[9,9,3,-1,-1],[13,11,4,-1,-1],[16,14,5,-1,-1],[],[],[],[39,36,13,-3,-3]])
se llama término general de la suma y, en muchos casos prácticos, es preciso conocer el aspecto de este término general.
MPDeleteCode('eq0007')
El número
MPSetEqnAttrs('eq0008','',3,[[6,9,0,-1,-1],[8,11,0,-1,-1],[10,14,0,-1,-1],[],[],[],[24,35,1,-3,-3]])
que figura debajo del símbolo
MPSetEqnAttrs('eq0009','',3,[[12,14,5,-1,-1],[16,18,5,-1,-1],[20,24,9,-1,-1],[],[],[],[50,60,18,-3,-3]])
se llama índice de sumación , y entendemos que los valores que toma este índice son
MPSetEqnAttrs('eq0010','',3,[[46,11,2,-1,-1],[61,13,2,-1,-1],[77,16,3,-1,-1],[],[],[],[194,42,9,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0010')
MPDeleteCode('eq0009')
MPDeleteCode('eq0008')
Más generalmente, si
MPSetEqnAttrs('eq0011','',3,[[6,9,3,-1,-1],[9,10,3,-1,-1],[12,13,4,-1,-1],[],[],[],[30,34,11,-3,-3]])
y
MPSetEqnAttrs('eq0012','',3,[[5,9,3,-1,-1],[7,10,3,-1,-1],[10,13,4,-1,-1],[],[],[],[24,34,11,-3,-3]])
son dos números enteros, con
MPSetEqnAttrs('eq0013','',3,[[24,12,3,-1,-1],[33,13,3,-1,-1],[43,16,4,-1,-1],[],[],[],[107,40,11,-3,-3]])
, pondremos
MPDeleteCode('eq0013')
MPDeleteCode('eq0012')
MPDeleteCode('eq0011')
MPSetEqnAttrs('eq0014','',3,[[119,29,13,-1,-1],[159,39,17,-1,-1],[199,47,21,-1,-1],[],[],[],[498,120,54,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0014')
En este contexto, el número
MPSetEqnAttrs('eq0015','',3,[[6,9,3,-1,-1],[9,10,3,-1,-1],[12,13,4,-1,-1],[],[],[],[30,34,11,-3,-3]])
se llama límite inferior de la suma , en tanto
MPSetEqnAttrs('eq0016','',3,[[5,9,3,-1,-1],[7,10,3,-1,-1],[10,13,4,-1,-1],[],[],[],[24,34,11,-3,-3]])
es el límite superior de esa suma.
MPDeleteCode('eq0016')
MPDeleteCode('eq0015')
Ejemplos.
a) Se quiere expresar la suma de los cuadrados de los primeros 10 naturales:
MPSetEqnAttrs('eq0017','',3,[[196,12,2,-1,-1],[262,16,2,-1,-1],[328,21,3,-1,-1],[],[],[],[819,50,9,-3,-3]])
MPDeleteCode('eq0017')
o sea,
MPDeleteCode('eq0018')
Como es fácil ver, el término general es
MPSetEqnAttrs('eq0019','',3,[[32,13,3,-1,-1],[44,18,4,-1,-1],[55,23,5,-1,-1],[],[],[],[136,54,13,-3,-3]])
, con lo que nuestra suma puede adquirir el aspecto más descansado
MPSetEqnAttrs('eq0020','',3,[[24,28,11,-1,-1],[32,39,16,-1,-1],[40,49,19,-1,-1],[],[],[],[100,117,47,-3,-3]])
. Así, se tiene la igualdad
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